Question

14．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件分類討論，解絕對值不等式，求得不等式f（x）≤3的解集．再根據(jù)不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}，求得a的值．
（Ⅱ）由題意可得|2x+1|-2|x+1|≤k恒成立，令g（x）=|2x+1|-2|x+1|，利用分段函數(shù)求得g（x）的最大值，可得k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|ax+1|≤3，即-3≤ax+1≤3，即-4≤ax≤2．
當a＞0時，求得-$\frac{4}{a}$≤x≤$\frac{2}{a}$，再根據(jù)它的解集為{x|-2≤x≤1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{a}=-2}\\{\frac{2}{a}=1}\end{array}\right.$，求得a=2．
當a＜0時，求得$\frac{2}{a}$≤x≤-$\frac{4}{a}$，再根據(jù)它的解集為{x|-2≤x≤1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}=-2}\\{-\frac{4}{a}=1}\end{array}\right.$，a無解．
綜上可得，a=2，f（x）=|2x+1|．
（Ⅱ）若f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）≤k恒成立，即|2x+1|-2|x+1|≤k恒成立．
令g（x）=|2x+1|-2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜-1}\\{-3x-3，-1≤x≤-\frac{1}{2}}\\{-1，x＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函數(shù)g（x）的最大值為1，
故k≥1．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，分段函數(shù)的應用，求函數(shù)的最值，屬于中檔題．