Question

13．過圓x²+y²=1上一點(diǎn)作該圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|有（　　）

• A． 最大值$\sqrt{2}$
• B． 最小值$\sqrt{2}$
• C． 最大值2
• D． 最小值2

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，（a＞0，b＞0），由直線bx+ay-ab=0與圓x²+y²=1相切，得到（ab）²=a²+b²≥2ab，由此能求出|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|有最小值2．

解答 解：過圓x²+y²=1上一點(diǎn)作該圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1，（a＞0，b＞0），
即bx+ay-ab=0，
∵直線bx+ay-ab=0與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，∴（ab）²=a²+b²≥2ab，
∴ab≥2，
∴|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|有最小值2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、直線方程的合理運(yùn)用．