Question

8．已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=25，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過曲線C上的一點Q（1，$\frac{8}{3}$）作兩條直線分別交曲線于A，B兩點，已知QA，QB的斜率互為相反數(shù)，求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓P的半徑為r，由題意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5-r）=6，從而曲線C是以（-1，0），（1，0）為焦點，長軸長為6的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線QA、QB的斜率分別為k，-k，則A（1+λ，$\frac{8}{3}+λk$），B（1+μ，$\frac{8}{3}-μk$），由此能求出直線AB的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=25，
動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，
設(shè)圓P的半徑為r，
由題意得|PM|+|PN|=（1+r）+（5-r）=6，
∴曲線C是以（-1，0），（1，0）為焦點，長軸長為6的橢圓，
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
（Ⅱ）設(shè)直線QA、QB的斜率分別為k，-k，
則直線QA、QB的一個方向向量為（1，k），（1，-k），
則$\overrightarrow{QA}$=λ（1，k），$\overrightarrow{QB}$=μ（1，-k），
∴A（1+λ，$\frac{8}{3}+λk$），B（1+μ，$\frac{8}{3}-μk$），
代入$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1，并整理，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+λ}{9}+\frac{λ{(lán)k}^{2}}{8}+\frac{2}{3}k=0}\\{\frac{2+μ}{9}+\frac{μ{k}^{2}}{8}-\frac{2}{3}k=0}\end{array}\right.$，
兩式相減，得：λ-μ=-$\frac{96k}{9{k}^{2}+8}$，
兩式相加，得：λ+μ=-$\frac{32}{9{k}^{2}+8}$，
∴直線AB的斜率k_AB=$\frac{k（λ+μ）}{λ-μ}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查曲線方程、直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓定義的合理運用．