Question

1．設θ為第二象限角，若$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$．求
（Ⅰ）tanθ的值；
（Ⅱ）$sin（\frac{π}{2}-2θ）+sin（π+2θ）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用特殊角的三角函數值及兩角和的正切函數公式即可計算求值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函數關系式可求cosθ，sinθ的值，利用誘導公式，二倍角公式化簡所求后即可計算求值．

解答 （本題滿分9分）
解：（Ⅰ）∵$tan（θ+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{tanθ+tan\frac{π}{4}}}{{1-tanθtan\frac{π}{4}}}=\frac{1}{2}$．
∴解得$tanθ=-\frac{1}{3}$…（2分）
（Ⅱ）∵θ為第二象限角，$tanθ=-\frac{1}{3}$，
∴cosθ=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，…（4分）
∴$sin（\frac{π}{2}-2θ）+sin（π+2θ）=cos2θ-sin2θ=2{cos^2}θ-1-2sinθcosθ=\frac{7}{5}$…（9分）

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數值及兩角和的正切函數公式，同角三角函數關系式，誘導公式，二倍角公式在三角函數求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．