Question

1．若實(shí)數(shù)（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，則當(dāng)$\frac{2a+b}{8}$的最小值為m，函數(shù)f（x）=e^-mx|lnx|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值可得m值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)可得．

解答 解：∵實(shí)數(shù)（a＞0，b＞0），且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，
∴$\frac{2a+b}{8}$=$\frac{1}{8}$（2a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）
=$\frac{1}{8}$（4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{8}$（4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$即a=2且b=4時(shí)，$\frac{2a+b}{8}$的最小值m=1，
故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)e^-x|lnx|-1=0的根的個(gè)數(shù)，
即|lnx|=e^x根的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=|lnx|和y=e^x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)可得兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，屬中檔題．