如圖,直三棱柱ABC=A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中點(diǎn),△A1MC1是等腰三角形,D為CC1的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn)且
CE
EB
=
1
3

(Ⅰ)證明:DE∥平面A1MC1;
(Ⅱ)若AB=2,求三棱錐E-A1MC1的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定
專題:計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)先A1,M,N,C1四點(diǎn)共面,再證DE∥平面A1MC1;(Ⅱ)AM⊥平面A1MC1,
V
 
E-A1MC1
=
V
 
D-A1MC1
=
V
 
M-A1C1D
再進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化.
解答: 解析:(Ⅰ) 取BC中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,C1N,
∵M(jìn),N分別為AB,CB中點(diǎn)
∴MN∥AC∥A1C1
∴A1,M,N,C1四點(diǎn)共面,…(3分)
CE
EB
=
1
3
,BC中點(diǎn)為N,
∴E是CN中點(diǎn),又D為CC1的中點(diǎn),
∴ED∥NC1,又ED?平面A1MC1,NC1?平面A1MC1,DE∥平面A1MC1…(6分)
(Ⅱ)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∵AB?平面ABC,
∴AA1⊥AB,∵5,AC∩AA1,
∴AB⊥平面AA1C1C,∴AM⊥平面A1MC1,
∵DE∥平面A1MC1,∴
V
 
E-A1MC1
=
V
 
D-A1MC1
=
V
 
M-A1C1D
,
V
 
M-A1C1D
=
1
3
×AM×
1
2
×DC1×A1C1=
2
12

所以三棱錐E-A1MC1的體積為
2
12
…(12分)
點(diǎn)評:本題考查平面與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,根據(jù)題目條件,將問題靈活轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵,考查邏輯推理能力與計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(2)y=lnx
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(1)求m的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1b1+a2b2+…+anbn=(3n-4)•2n+1+8對任意n∈N*都成立?若存在,求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,請說明理由.

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π
4
)+cos(A-
π
4
)=
2
2

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(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.

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b
ax-1
+1(a>0,a≠1,b∈R)是奇函數(shù),且f(2)=
5
3

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(2)用定義證明f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù).

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(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
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