Question

7．設(shè)n是大于3的自然數(shù)，且具有下列性質(zhì)：把集合S_n={1，2，3，…，n}任意分為兩組，總有某一個(gè)組，它含有一個(gè)數(shù)a，b，c（允許a=b），使得ab=c．求這樣的n的最小值．

Answer 1

分析 可假設(shè)將集合S_n分成兩個(gè)集合A，B，并且對(duì)于A，B都不含3個(gè)數(shù)a，b，c，使得ab=c，這樣可設(shè)2∈A，這樣可得出2⁴∈A，2²∈B，2³∈B，這樣2⁵放在A，B中任意一個(gè)，都有ab=c，這便說(shuō)明這樣的n的最小值為2⁵．

解答 解：假設(shè)把集合S_n分成兩組A，B；
設(shè)2∈A，且A，B中不含三個(gè)數(shù)a，b，c，滿足ab=c，則：
∵是求最小的n，所以a=b時(shí)，求得的c才可能最��；
如果2²∈A則矛盾，那么2²∈B；
如果2⁴∈B則矛盾，那么2⁴∈A；
如果2³∈A則矛盾，那么2³∈B；
于是2⁵放哪都矛盾，故n=32；
即滿足條件的n的最小值為32．

點(diǎn)評(píng) 考查列舉法表示集合，以及元素與集合的關(guān)系，注意性質(zhì)中的a=b的運(yùn)用．