Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：PN⊥平面ADMN．

Answer 1

分析 （1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)線面平行的判定定理知，只須證明MN∥AD，結(jié)合中點(diǎn)條件即可證明得；
（2）欲證PN⊥平面ADMN，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，只須證明AN⊥PN及AD⊥PN，而這此垂直關(guān)系的證明較為明顯，從而即可證得結(jié)論．

解答 證明：（1）因?yàn)镸、N分別為PC、PB的中點(diǎn)，
所以MN∥BC，…（1分）
又因?yàn)锳D∥BC，所以MN∥AD…（2分）
又AD?平面PAD，MN?平面PAD，
所以MN∥平面PAD…（4分）
（2）因?yàn)锳N為等腰△ABP底邊PB上的中線，所以AN⊥PN…（5分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因?yàn)锳D⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PN?平面PAB，所以AD⊥PN…（6分）
因?yàn)锳N⊥PN，AD⊥PN，且AN∩AD=A，
所以PN⊥平面ADMN…（7分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，考查了空間想象力及推理論證能力，屬于中檔題．