Question

8．若函數(shù)f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}（a＞0）$的圖象與直線y=b相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡解析式可得f（x）=-sin（2ax+$\frac{π}{6}$），由題意b為f（x）的最大值或最小值，可求b，求得最小正周期，由周期公式可求a．
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可解得y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=sin²ax-$\sqrt{3}sinax•cosax-\frac{1}{2}（a＞0）$
=$\frac{1-cos2ax}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ax-$\frac{1}{2}$
=-sin（2ax+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=b相切，
∴b為f（x）的最大值或最小值，即b=-1或b=1，
∵切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列，
∴f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{|2a|}$=$\frac{π}{2}$，a＞0，
∴a=2，即f（x）=-sin（4x+$\frac{π}{6}$）…6分
（Ⅱ）f（x）的增區(qū)間，即為y=sin（4x+$\frac{π}{6}$）的減區(qū)間，
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得：$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$]（k∈Z）…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．