Question

17．三棱錐P-ABC中各條棱長都相等，點E是BC中點，則直線PE與AB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 如圖所示，取AC的中點F，連接EF，PF．則EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，可得∠PEF是異面直線PE與AB所成角或其補角．利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC的中點F，連接EF，PF．
則EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，∴∠PEF是異面直線PE與AB所成角或其補角．
不妨設(shè)AB=2，則EF=1．
PE=PF=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PEF=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線PE與AB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了正四面體的性質(zhì)、三角形中位線定理、余弦定理、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．