Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為 T_n=2b_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：$\frac{1}{{{a_2}+{S_1}}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{S_n}}}$＜$\frac{3}{4}$；
（3）若滿足不等式λb_n-a_n+1²＜0的正整數(shù)n有且僅有3個(gè)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，利用：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n=2n-1．由于{b_n}的前n項(xiàng)和為 T_n=2b_n-1，可得當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1+{n}^{2}}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項(xiàng)求和”與“放縮法”即可得出．
（3）不等式λb_n-a_n+1²＜0?λ＞$\frac{（2n+1）^{2}}{{2}^{n-1}}$，令d_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{2}^{n-1}}$，研究其單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，∴a_n=2n-1．
∵{b_n}的前n項(xiàng)和為 T_n=2b_n-1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-1-（2b_n-1-1），化為b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，
∴b_n=2^n-1．
（2）證明：∵$\frac{1}{{a}_{n+1}+{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1+{n}^{2}}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{{{a_2}+{S_1}}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{S_n}}}$＜$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{3}{4}$，
因此$\frac{1}{{{a_2}+{S_1}}}$+$\frac{1}{{a}_{3}+{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{{a_{n+1}}+{S_n}}}$＜$\frac{3}{4}$；
（3）解：不等式λb_n-a_n+1²＜0?λ＞$\frac{（2n+1）^{2}}{{2}^{n-1}}$，
令d_n=$\frac{（2n+1）^{2}}{{2}^{n-1}}$，$\frac{t5vqu71_{n+1}}{nccr4bc_{n}}$＞1?$\frac{（2n+3）^{2}}{2（2n+1）^{2}}$＞1?4n²-4n-7＜0，
以上不等式的正整數(shù)解只有n=1，故d₁＜d₂，而n≥2時(shí)，{d_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，計(jì)算可得：d₁=9，d₂=$\frac{25}{2}$，d₃=$\frac{49}{4}$，$18nrr9i_{4}=\frac{81}{8}$，d₅=$\frac{121}{16}$，…，
∴d₂＞d₃＞d₄＞d₁＞d₅＞d₆，…，
∵滿足不等式λb_n-a_n+1²＜0的正整數(shù)n有且僅有3個(gè)，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$9≤λ＜\frac{81}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．