Question

17．已知半圓C：（x-2）²+y²=4（y≥0），直線 l：x-2y-2=0．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（I）寫(xiě)出C與 l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）記A為C直徑的右端點(diǎn)，C與l交于點(diǎn)M，且M為圓弧AB的中點(diǎn)，求|OB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=ρcosθ，y=ρsinθ分別代入半圓C與直線 l的方程中，整理得出它們的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由題意求出點(diǎn)B的極角α的正切值tanα，利用三角函數(shù)的關(guān)系求出cosα，即可計(jì)算|OB|的值．

解答 解：（Ⅰ）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入半圓C：（x-2）²+y²=4（y≥0）中，
（ρcosθ-2）²+（ρsinθ）²=4，
化簡(jiǎn)得C的極坐標(biāo)方程為
C：ρ=4cosθ（0≤θ≤$\frac{π}{2}$）；
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直線 l：x-2y-2=0中，
得l的極坐標(biāo)方程為
l：ρcosθ-2ρsinθ-2=0；…（4分）
（Ⅱ）根據(jù)題意，l經(jīng)過(guò)半圓C的圓心C（2，0），
設(shè)點(diǎn)B的極角為α，則tanα=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{2}$，
即sinα=$\frac{1}{2}$cosα，
∴sin²α+cos²α=$\frac{1}{4}$cos²α+cos²α=$\frac{5}{4}$cos²α=1，
∴cos²α=$\frac{4}{5}$；
又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；  …（6分）       
∴由C的極坐標(biāo)方程得
|OB|=ρ=4cosα=4×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．  …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化和應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的求值問(wèn)題，是綜合性題目．