Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+5x．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞5x+1的解集．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f（x）＞5x+1化簡可得|2x-a|＞1，即2x-a＞1，或2x-a＜-1，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式等價于5x≤2x-a≤-5x，化簡得

x≤- a 3 x≤ a 7

．再分若a＜0和a≥0，兩種情況，分別根據(jù)原不等式的解集為{x|x≤-1}，求a的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）＞5x+1化簡可得|2x-a|＞1，即2x-a＞1或2x-a＜-1，解得：x＜

a-1

2

或x＞

a+1

2

，
所以，不等式f（x）＞5x+1的解集為{x|x＜

a-1

2

，或x＞

a+1

2

}．
（Ⅱ）不等式|2x-a|+5x≤0等價于5x≤2x-a≤-5x，即

5x≤2x-a 2x-a≤-5x

，化簡得

x≤- a 3 x≤ a 7

．
若a＜0，則原不等式的解集為{x|x≤

a

7

}={x|x≤-1}，此時，a=-7；
若a≥0，則原不等式的解集為{x|x≤-

a

3

}={x|x≤-1}，此時，a=3．
綜上所述，a=-7，或a=3．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．