如圖，已知三棱錐D-ABC的底面是正三角形，且DA⊥平面ABC，O為底面中心，M、N是BD上的兩點(diǎn)，且BM=DM=3MN
（1）ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，求BO與平面MAC所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）延長(zhǎng)BO交AC于E，連接ME，根據(jù)重心的幾何特征結(jié)合已知和平行線分線段成比例定理可得：ON∥ME，再由線面平行的判定定理得到ON∥平面MAC； 
（2）若AM⊥BD，可得△ABD，以A為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出BO的方向向量和平面MAC的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
解答： 證明：（1）延長(zhǎng)BO交AC于E，連接ME，
∵O為底面正三角形ABC的中心，
故E為AC的中點(diǎn)，且BO：OE=2：1，
又由BM=DM=3MN，
∴BN：NM=2：1，
故ON∥ME，
又∵ON?平面MAC，ME?平面MAC，
∴ON∥平面MAC； 
解：（2）∵DA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DA⊥AB，
又∵ABM為BD的中點(diǎn)，AM⊥BD，
故△ABD為等腰直角三角形，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=AB=AC=BC=2a，
則B（0，2a，0），D（0，0，2a），M（0，a，a），C（
3
a，a，0），O（
3
a
3
，a，0），
則
BO
=（
3
a
3
，-a，0），
AM
=（0，a，a），
AC
=（
3
a，a，0），
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為
m
=（x，y，z），
則由
m
⊥
AM
m
⊥
AC
得：
m
•
AM
=0
m
•
AC
=0
，
即
ay+az=0
3
ax+ay=0
，
令x=1，則
m
=（1，-
3
，
3
）為平面MAC的一個(gè)法向量，
設(shè)BO與平面MAC所成角為θ，
則sinθ=
|
m
•
BO
|
|
m
|•|
BO
|
=
4
3
3
a
2
3
3
a•
7
=
2
7
7
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，建立空間坐標(biāo)系，將空間線面夾角問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f1（x）=
1
12
x4+aex（其中a是非零常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底），記fn（x）=fn-1′（x）（n≥2，n∈N*）
（1）求使?jié)M足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有fn（x）=fn-1（x）的最小整數(shù)n的值（n≥2，n∈N*）；
（2）設(shè)函數(shù)gn（x）=f4（x）+f5（x）+…+fn（x），若對(duì)?n≥5，n∈N*，y=gn（x）都存在極值點(diǎn)x=tn，求證：點(diǎn)An（tn，gn（tn））（n≥5，n∈N*）在一定直線上，并求出該直線方程；（注：若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．）
（3）是否存在正整數(shù)k（k≥4）和實(shí)數(shù)x0，使fk（x0）=fk-1（x0）=0且對(duì)于?n∈N*，fn（x）至多有一個(gè)極值點(diǎn)，若存在，求出所有滿足條件的k和x0，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

森林失火，火勢(shì)以每分鐘100平方米的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到報(bào)警后立即派消防員前去，在失火5分鐘到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)開始救火，已知消防員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人每分鐘可滅火50平方米，所消耗的滅火材料等費(fèi)用平均每人每分鐘125元，所消耗的車輛，器械和裝備等費(fèi)用平均每人100元，而每燒毀1平方米森林損失費(fèi)為60元，設(shè)消防站派x名消防員前去救火，從到現(xiàn)場(chǎng)到把火完全撲滅用了t分鐘．
（1）求出x與t的關(guān)系．
（2）設(shè)總損失為y元，則x為何值時(shí)，才能使總損失最少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
2
x
+ax-3（其中a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)?x∈[1，3]，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+5x．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞5x+1的解集．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解不等式x2-（a+
1
a
）x+1＜0（a≠0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某縣工業(yè)園區(qū)人才市場(chǎng)舉辦農(nóng)民工招聘洽談活動(dòng)，某服裝廠經(jīng)過綜合測(cè)試，錄用了14名男工和6名女工，這20名工人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，服裝廠規(guī)定：成績(jī)?cè)?80分以上者到“甲車間”工作；180分以下者到“乙車間”工作．
（1）求男工成績(jī)的中位數(shù)及女工成績(jī)的平均值；
（2）如果用分層抽樣的方法從兩車間中共選5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人來(lái)著“甲車間”的概率是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（1）求曲線在（1，f（1））處的切線方程；
（2）證明：0＜x＜1時(shí)f（x）＜0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)R（x，y）及兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線RA、RB斜率分別為k1、k2，且k1•k2=-
3
4
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S（4，0）的直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，交曲線C于點(diǎn)Q．求證：直線NQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案