Question

抽獎游戲規(guī)則如下：一個口袋中裝有完全一樣的8個球，其中4個球上寫有數(shù)字“5”，另外4個球上寫有數(shù)字“10”．
（1）每次摸出一個球，記下球上的數(shù)字后放回，求抽獎?wù)咚拇蚊�球�?shù)字之和為30的概率；
（2）若抽獎?wù)呙拷?元錢（抽獎成本）獲得一次抽獎機會，每次摸出4個球，若4個球數(shù)字之和為20或40則中一等獎，獎勵價值20元的商品一件；若4個球數(shù)字之和為25或35則中二等獎，獎勵價值2元的商品一件；若4個球數(shù)字之和為30則不中獎．試求抽獎?wù)呤找姒危í勂穬r值-抽獎成本）的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意，每次摸球?qū)懹袛?shù)字“5”的概率為

1

2

．四次摸球數(shù)字之和為30，只能是兩次摸到寫有數(shù)字“5”，另兩次寫有數(shù)字“10”．設(shè)X為4次摸球中寫有數(shù)字“5”的次數(shù)，則X～B（4，

1

2

），由此能求出抽獎?wù)咚拇蚊�球�?shù)字之和為30的概率．
（2）由題意，抽獎?wù)攉@得的收益ξ可取18元、0元、-2元，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和抽獎?wù)呤找娴钠谕��?/div>

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由題意，每次摸球?qū)懹袛?shù)字“5”的概率為

1

2

．                               …（1分）
四次摸球數(shù)字之和為30，只能是兩次摸到寫有數(shù)字“5”，另兩次寫有數(shù)字“10”．…（2分）
設(shè)X為4次摸球中寫有數(shù)字“5”的次數(shù)，則X～B（4，

1

2

），…（3分）
所以抽獎?wù)咚拇蚊�球�?shù)字之和為30的概率為：
P（X=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(1-

1

2

)2=

3

8

．
∴抽獎?wù)咚拇蚊�球�?shù)字之和為30的概率為

3

8

．…（5分）
（2）由題意，抽獎?wù)攉@得的收益ξ可取18元、0元、-2元．…（6分）
從8個球中任取4個球的結(jié)果數(shù)為

C

4 8

，
其中恰好有k個球?qū)懹袛?shù)字“5”的結(jié)果數(shù)為

C

k 4

•

C

4-k 4

，
所以從8個球中任取4個球，其中恰好k個球?qū)懹袛?shù)字“5”的概率為：
P（Y=k）=

C k 4 • C 4-k 4

C 4 8

，k=0，1，2，3，4，…（8分）
所以P（ξ=18）=P（Y=0）+P（Y=4）
=

C 4 4 • C 0 4

C 4 8

+

C 0 4 C 4 4

C 4 8

=

1

35

，…（9分）
P（ξ=0）=P（Y=1）+P（Y=3）
=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

+

C 3 4 C 4-3 4

C 4 8

=

16

35

，…（10分）
P（ξ=-2）=P（Y=2）=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

18

35

，…（11分）
因此，隨機變量ξ的分布列為

ξ	18	0	-2
P	1 35	16 35	18 35

…（12分）
Eξ=18×

1

35

+0×

16

35

+(-2)×

18

35

=-

18

35

．…（13分）
所以，（1）抽獎?wù)咚拇蚊�球�?shù)字之和為30的概率為

3

8

；
（2）抽獎?wù)呤找娴钠谕麨?

18

35

元．…（14分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，是中檔題．