Question

2．已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z-i|，其中i為虛數(shù)單位，且z+$\frac{1}{z}$為實(shí)數(shù)，則z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．

Answer 1

分析 設(shè)z=a+bi（a，b∈R），利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件即可得出．

解答 解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），∵復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z-i|，且z+$\frac{1}{z}$為實(shí)數(shù)，
∴$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$，a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+bi+$\frac{a-bi}{{a}^{2}+^{2}}$，即$\frac{b（{a}^{2}+^{2}）-b}{{a}^{2}+^{2}}=0$，
聯(lián)立解得a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$a=b=-\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=b=0（舍去）．
∴z=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或z=$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$或$-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．