Question

11．已知實數(shù)x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}|{x-y+1}|≥|{2x+3y-7}|\\ 0≤x≤2\end{array}\right.$，則x²+y²+4y的最小值為4．

Answer 1

分析 將不等式組進行化簡，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由|x-y+1|≥|2x+3y-7|，
得（x-y+1）²≥（2x+3y-7）²，
即（x-y+1）²-（2x+3y-7）²≥0
則（3x+2y-6）（-x-4y+8）≥0，
即（3x+2y-6）（x+4y-8）≤0，
∵0≤x≤2
∴作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
x²+y²+4y=x²+（y+2）²-4，
則x²+（y+2）²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（0，-2）的距離的平方，
由圖象知AD的距離最小，A（2，0）
此時x²+y²+4y也最小，最小為4+0+0=4，
故答案為：4．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的作圖能力．