Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，且b，a，b+c成等比數(shù)列．
（1）證明：cosA=$\frac{c-b}{2b}$；
（2）求$\frac{a+c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a²=b（b+c）=b²+bc，由余弦定理即可證明cosA=$\frac{c-b}{2b}$．
（2）設(shè)公比是q（q＞0），則可得：a=bq，b+c=aq，解得b=$\frac{a}{q}$，c=aq-$\frac{a}{q}$，由a+b＞c，可得q²-q-2＜0，解得q∈（0，2），由$\frac{a+c}$=q²+q-1，在（0，2）單調(diào)遞增，可求$\frac{a+c}$＜5，又a+c＞b，可得：$\frac{a+c}$＞1，從而得解其取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）證明：∵b，a，b+c成等比數(shù)列，可得：a²=b（b+c）=b²+bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-（^{2}+bc）}{2bc}$=$\frac{c（c-b）}{2bc}$=$\frac{c-b}{2b}$，得證…4分
（2）解：由b，a，b+c成等比數(shù)列，設(shè)公比是q（q＞0），則可得：a=bq，b+c=aq，解得：b=$\frac{a}{q}$，c=aq-$\frac{a}{q}$，
∵a+b＞c，可得：a+$\frac{a}{q}$＞aq-$\frac{a}{q}$，解得：q²-q-2＜0，解得：-1＜q＜2，即得：q∈（0，2），
∵$\frac{a+c}$=$\frac{a+aq-\frac{a}{q}}{\frac{a}{q}}$=q²+q-1=（q+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，在（0，2）單調(diào)遞增，
故可得：$\frac{a+c}$=$\frac{a+aq-\frac{a}{q}}{\frac{a}{q}}$=q²+q-1＜（2+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$=5，
又∵a+c＞b，可得：$\frac{a+c}$＞1，
∴$\frac{a+c}$∈（1，5）…12分

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，不等式的解法及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．