Question

18．拋物線y=x²-2x+2交直線y=mx（m＞0）于P₁、P₂兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段P₁P₂上，且滿(mǎn)足：$\frac{1}{|O{P}_{1}|}$+$\frac{1}{|O{P}_{2}|}$=$\frac{2}{|OQ|}$．求：點(diǎn)Q軌跡．

Answer 1

分析 設(shè)直線y=mx（m＞0）的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），代入拋物線的方程，運(yùn)用判別式大于0，以及韋達(dá)定理，設(shè)OQ=t，代入條件求得Q的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)可得Q的軌跡方程，進(jìn)而得到Q的軌跡．

解答 解：設(shè)直線y=mx（m＞0）的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜$\frac{π}{2}$），
代入拋物線的方程，可得t²cos²α-（2cosα+sinα）t+2=0，
可得△=（2cosα+sinα）²-8cos²α＞0，即sin²α+4sinαcosα-4cos²α＞0，
即有tan²α+4tanα-4＞0，解得tanα＞2$\sqrt{2}$-2．
t₁+t₂=$\frac{2cosα+sinα}{co{s}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$，
設(shè)OQ=t，由$\frac{1}{|O{P}_{1}|}$+$\frac{1}{|O{P}_{2}|}$=$\frac{2}{|OQ|}$，cos$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4cosα}{2cosα+sinα}}\\{y=\frac{4sinα}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$
可得$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{{t}_{1}}$+$\frac{1}{{t}_{2}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2cosα+sinα}{2}$，
可得t=$\frac{4}{2cosα+sinα}$，
即有Q的坐標(biāo)為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4cosα}{2cosα+sinα}}\\{y=\frac{4sinα}{2cosα+sinα}}\end{array}\right.$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{2+tanα}}\\{y=\frac{4tanα}{2+tanα}}\end{array}\right.$，可得tanα=$\frac{y}{x}$，
代入可得y=4-2x，（0＜x＜$\sqrt{2}$），
即有Q的軌跡為線段y=4-2x，（0＜x＜$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．