Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）到其焦點(diǎn)F的距離為3，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞2）的左頂點(diǎn)為A，若MA⊥MF，那么a=（　　）

• A． 49
• B． 16
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義，可得p=4，進(jìn)而得到拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，M的坐標(biāo)，求得橢圓的左頂點(diǎn)，運(yùn)用向量垂直的條件解方程可得a=7．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得，
1+$\frac{p}{2}$=3，
解得p=4，
即有拋物線方程為y²=8x，
令x=1，可得m=±2$\sqrt{2}$，
即有M（1，±2$\sqrt{2}$），
橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的左頂點(diǎn)為A，
即有A（-a，0），
又F（2，0），
若MA⊥MF，則$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MF}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$=0，
$\overrightarrow{MA}$=（-a-1，$±2\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MF}$=（1，$±2\sqrt{2}$），
則-（1+a）+8=0，
解得a=7．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義的運(yùn)用，同時(shí)考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．