Question

13．已知拋物線C：x²=4y和直線l：y=-2，直線l與y軸的交點(diǎn)為D，過點(diǎn)Q（0，2）的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)P．
（1）記△DAB的面積為S，求S的取值范圍；
（2）設(shè)$\overrightarrow{AQ}$=λ$\overrightarrow{QB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （1）顯然直線AB斜率k存在，且k≠0，設(shè)直線AB方程y=kx+2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，弦長公式，由三角形的面積公式計(jì)算即可得到；
（2）設(shè)P（x₀，-2），運(yùn)用向量的共線坐標(biāo)表示，可得λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$，同理μ=$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$，計(jì)算化簡(jiǎn)即可求得λ+μ的值為0．

解答 解：（1）顯然直線AB斜率k存在，且k≠0，
設(shè)直線AB方程y=kx+2，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得x²-4kx-8=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{△=16{k}^{2}+32＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
所以|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$
=$\sqrt{16{k}^{2}+32}$，
所以S=$\frac{1}{2}$|QD|•|x₁-x₂|=$\frac{1}{2}×4$$\sqrt{16{k}^{2}+32}$＞8$\sqrt{2}$；
（2）設(shè)P（x₀，-2），
則由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{AQ}$=（-x₁，2-x₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂，y₂-2），
所以λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$，
同理μ=$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$，
又y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}$=4，
故λ+μ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{2}-2}$+$\frac{-2-{y}_{1}}{{y}_{2}+2}$=2×$\frac{4-{y}_{1}{y}_{2}}{{{y}_{2}}^{2}-4}$=0，
因此λ+μ的值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．