Question

10．已知點(diǎn)A（-1，0）以及拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，若P是拋物線上的動點(diǎn)，則$\frac{|PF|}{|PA|}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 如圖所示，由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1．設(shè)P（x₀，y₀），過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．可得|PF|=|PM|=x₀+1，|PA|=$\sqrt{|PM{|}^{2}+|AM{|}^{2}}$，可得$\frac{|PF{|}^{2}}{|PA{|}^{2}}$=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{（{x}_{0}+1）^{2}+4{x}_{0}}$，對x₀分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，
由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），
拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1．
設(shè)P（x₀，y₀），過點(diǎn)P作PM⊥l，垂足為M．
則|PF|=|PM|=x₀+1，
|PA|=$\sqrt{|PM{|}^{2}+|AM{|}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{0}+1）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{0}+1）^{2}+4{x}_{0}}$，
∴$\frac{|PF{|}^{2}}{|PA{|}^{2}}$=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{（{x}_{0}+1）^{2}+4{x}_{0}}$，
當(dāng)x₀=0時(shí)，$\frac{|PF{|}^{2}}{|PA{|}^{2}}$=$\frac{1}{1}$=1，即$\frac{|PF|}{|PA|}$=1．
當(dāng)x₀≠0時(shí)，$\frac{|PF{|}^{2}}{|PA{|}^{2}}$=$\frac{1}{1+\frac{4{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+2{x}_{0}+1}}$=$\frac{1}{1+\frac{4}{{x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}+2}}$$≥\frac{1}{1+\frac{4}{2\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{{x}_{0}}}+2}}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=1時(shí)取等號．
即$\frac{|PF|}{|PA|}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
綜上可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{|PF|}{|PA|}$≤1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．