Question

已知2和-2是函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4的兩個極值點，a，b∈R．
（1）求a，b的值，
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，由題意知-2，2是方程f'（x）=0的兩實根，由韋達(dá)定理可求出a，b的值．
（2）將a，b的值代入導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號及極值點的定義可確定是極大值、極小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，
∴f′（x）=x²+2ax+b，
由

f′(2)=4+4a+b=0 f′(-2)=4-4a+b=0

得

a=0 b=-4

…．（4分）
（2）由（1）可知f(x)=

1

3

x3-4x+4，∴f′（x）=x²-4…．（5分）
令f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2
令f′（x）＜0，得-2＜x＜2…．（7分）
則x，f′（x）與f（x）的關(guān)系如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值 28 3	單調(diào)遞減	極小值- 4 3	單調(diào)遞增

∴f（x）的極大值為：f(-2)=

28

3

；極小值為：f(2)=-

4

3

…．（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．屬中檔題．