Question

9．若關(guān)于x的不等式x²+|x+a|＜2至少有一個(gè)正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，2）．

Answer 1

分析 先將不等式寫成：|x+a|＜2-x²，再構(gòu)造兩函數(shù)f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，最后運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式．

解答 解：不等式可寫成：|x+a|＜2-x²，（*）
根據(jù)題意，不等式（*）至少有一個(gè)正數(shù)解，
即至少存在一個(gè)正數(shù)x₀使得：|x₀+a|＜2-x₀²，
記f（x）=|x+a|，g（x）=2-x²，畫出兩函數(shù)的圖象，
①當(dāng)f（x）的頂點(diǎn)（-a，0）（a＜0）在x軸右側(cè)時(shí)，
兩函數(shù)圖象在右側(cè)相切是臨界，如圖（藍(lán)線）：
此時(shí)，-（x+a）=2-x²，即x²-x-a-2=0，
由△=0，解得a=-$\frac{9}{4}$，
所以，要使不等式（*）至少有一個(gè)正數(shù)解，則a＞-$\frac{9}{4}$，
②當(dāng)f（x）圖象的頂點(diǎn)（-a，0）（a＞0）在x軸左側(cè)時(shí)，
函數(shù)g（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2）也是臨界，如圖（紅線），
此時(shí)，a=2，要使原不等式有正數(shù)解，則a＜2，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-$\frac{9}{4}$，2），
故答案為：（-$\frac{9}{4}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法，以及函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形解的解題思想，屬于中檔題．