Question

17．極限$\underset{lim}{x→+∞}$[cos$\sqrt{x+1}$-cos$\sqrt{x}$]的結果是（　　）

• A． 無窮大
• B． 0
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． 不存在，也不是無窮大

Answer 1

分析 將原式寫成-2sin$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$•sin$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$的形式，該式的后半部分極限存在且為零，前半部分有界，所以該極限為0．

解答 解：因為cos$\sqrt{x+1}$-cos$\sqrt{x}$
=-2sin$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$•sin$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$，
其中$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$=$\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$，
所以，當x→+∞時，$\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$→0，
因此，當x→+∞時，sin$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$→0，
且|sin$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$|≤1，即該式有界，
根據(jù)極限的運算法則，
$\underset{lim}{x→+∞}$[cos$\sqrt{x+1}$-cos$\sqrt{x}$]=0，
故答案為：B．

點評 本題主要考查了極限及其運算，涉及到三角函數(shù)的恒等變換，以及極限的運算法則，屬于中檔題．