Question

15．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，C₁D₁的一個四等分點(diǎn)，
（1）求BE₁與DF₁所成的角的余弦值；
（2）求證：A₁B⊥AC₁．

Answer 1

分析 根據(jù)題圖中的坐標(biāo)系得到向量$\overrightarrow{B{E}_{1}}，\overrightarrow{D{F}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答．

解答 解：（1）由已知題圖中坐標(biāo)系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E₁（1，$\frac{3}{4}$，1），F(xiàn)₁（0，$\frac{1}{4}$，1），
$\overrightarrow{B{E}_{1}}$=（0，$-\frac{1}{4}$，1），$\overrightarrow{D{F}_{1}}$=（0，$\frac{1}{4}$，1），
所以cos＜$\overrightarrow{B{E}_{1}}，\overrightarrow{D{F}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{E}_{1}}•\overrightarrow{D{F}_{1}}}{|\overrightarrow{B{E}_{1}}||\overrightarrow{D{F}_{1}}|}$=$\frac{\frac{15}{16}}{\sqrt{\frac{17}{16}}\sqrt{\frac{17}{16}}}=\frac{15}{17}$，
所以BE₁與DF₁所成的角的余弦值為$\frac{15}{17}$；
（2）由（1）得$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，1），
所以$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，
所以$\overrightarrow{{A}_{1}B}⊥\overrightarrow{A{C}_{1}}$
所以₁B⊥AC₁．

點(diǎn)評 本題考查了正方體中線線關(guān)系的判斷；解答本題的關(guān)鍵是利用空間向量的數(shù)量積．