Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$，求證：$\frac{1}{_{2}ln_{2}}$+$\frac{1}{_{3}ln_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}ln_{n}}$+$\frac{6_{n}+3}{{a}_{n}}$＞$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．變形為na_n+1=2S_n+n³+3n²+2n，利用遞推式化為na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+3n²+3n，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=3，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$=n，可得$\frac{1}{_{n}ln_{n}}$=$\frac{1}{nlnn}$，$\frac{6_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+3}{3{n}^{2}+3n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$．令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}-1$，x∈（1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出：$\frac{1}{xlnx}$$＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，令x=2，3，4，…，n，利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．
∴na_n+1=2S_n+n³+3n²+2n，
當(dāng)n≥2時，（n-1）a_n=2S_n-1+（n-1）³+3（n-1）²+2（n-1），
na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+n³+3n²+2n-[（n-1）³+3（n-1）²+2（n-1）]，
化為na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+3n²+3n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，首項為6，公差為3，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=6+3（n-1）=3n+3，
∴${a}_{n}=3{n}^{2}+3n$．
（2）證明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$=n，
∴$\frac{1}{_{n}ln_{n}}$=$\frac{1}{nlnn}$，$\frac{6_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+3}{3{n}^{2}+3n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$．
令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}-1$，x∈（1，+∞），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）^{2}}{2{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴$lnx-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}$-1＜-1，
∴$\frac{1}{xlnx}$$＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，
令x=2，3，4，…，n，則$\frac{1}{2ln2}＞$$1-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3ln3}＞\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4ln4}＞\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，…，$\frac{1}{nlnn}＞\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{_{2}ln_{2}}$+$\frac{1}{_{3}ln_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}ln_{n}}$＞$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{_{2}ln_{2}}$+$\frac{1}{_{3}ln_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}ln_{n}}$+$\frac{6_{n}+3}{{a}_{n}}$＞$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）成立．

點評 本題考查了“累加求和”、等差數(shù)列的通項公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用單調(diào)性證明不等式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．