Question

17．國(guó)際上鉆石的重量計(jì)算單位為克拉．已知某種鉆石的價(jià)值y（美元）與其重量x（克拉）的平方成正比，且一顆為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54000美元．
已知，價(jià)值損失百分率=$\frac{原有價(jià)值-現(xiàn)有價(jià)值}{原有價(jià)值}$×100%．切割中重量的損耗不計(jì)
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1：4的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；
（3）若把一顆鉆石切割成重量分別為m克拉和n克拉的兩顆鉆石，問：當(dāng)m、n滿足何種關(guān)系時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大？

Answer 1

分析 （1）先由題意可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為：y=kx²，再根據(jù)3克拉的價(jià)值是54000美元求得k值，即可求得此鉆石的價(jià)值與重量的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)價(jià)值損失百分率的公式，設(shè)兩顆鉆石的重量為m、4m克拉，代入進(jìn)行求解即可．
（3）兩顆鉆石的重量為m、n克拉，原有價(jià)值是6000（m+n）²，現(xiàn)有價(jià)值是6000m²+6000n²；價(jià)值損失的百分率為：$\frac{{6000{{（{m+n}）}^2}-6000{m^2}-6000{n^2}}}{{6000{{（{m+n}）}^2}}}×100%$，化簡(jiǎn)整理，得其最大值，即鉆石價(jià)值損失的最大百分率．

解答 解：（1）依題意設(shè)y=kx²，又當(dāng)x=3時(shí)，y=54000，
∴k=6000，
故y=kx²=6000x²（x＞0）；
（2）設(shè)兩顆鉆石的重量為m、4m克拉
則原有價(jià)值是6000（5m）²，現(xiàn)有價(jià)值是6000m²+6000（4m）²，
價(jià)值損失的百分率=$\frac{6000•（5m）^{2}-6000{m}^{2}-6000•（4m）^{2}}{6000•（5m）^{2}}$=$\frac{8}{25}$=32%，
即價(jià)值損失的百分率是32%．
（3）若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價(jià)值是6000（m+n）²，
現(xiàn)有價(jià)值是6000m²+6000n²；價(jià)值損失的百分率為：
$\frac{{6000{{（{m+n}）}^2}-6000{m^2}-6000{n^2}}}{{6000{{（{m+n}）}^2}}}×100%$=$\frac{2mn}{{{{（{m+n}）}^2}}}×100%≤\frac{{2×{{（{\frac{m+n}{2}}）}^2}}}{{{{（{m+n}）}^2}}}=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)；
所以，當(dāng)m=n時(shí)，鉆石價(jià)值損失的百分率最大．

點(diǎn)評(píng) 本題通過建立函數(shù)模型，考查正比例函數(shù)；通過所給公式，求價(jià)值損失率；通過求價(jià)值損失的百分率的最大值，考查基本不等式，屬于綜合性題目．