Question

20．已知向量$\vec a=（1，2）$，向量$\vec b=（-3，2）$．
（Ⅰ）若向量$\overrightarrow a+k\vec b$與向量$\overrightarrow a-3\vec b$垂直，求實數k的值；
（Ⅱ）當k為何值時，向量$\overrightarrow a+k\vec b$與向量$\overrightarrow a-3\vec b$平行？并說明它們是同向還是反向．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標求出$\overrightarrow a+k\vec b$與$\overrightarrow a-3\vec b$的坐標．
（Ⅰ）直接由向量垂直的坐標表示列式求實數k的值；
（Ⅱ）由向量共線的坐標運算求得k值，代入向量驗證是同向還是反向．

解答 解：∵$\vec a=（1，2）$，$\vec b=（-3，2）$，
∴$\overrightarrow a+k\vec b$=（1-3k，2+2k），$\overrightarrow a-3\vec b$=（10，-4），
（Ⅰ）若向量$\overrightarrow a+k\vec b$與向量$\overrightarrow a-3\vec b$垂直，則10（1-3k）-4（2+2k）=0，解得：k=$\frac{1}{19}$；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow a+k\vec b$與向量$\overrightarrow a-3\vec b$平行，則-4（1-3k）-10（2+2k）=0，解得：k=-3．
此時$\overrightarrow a+k\vec b$=（10，-4），$\overrightarrow a-3\vec b$=（10，-4），兩向量同向．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了向量平行和垂直的坐標運算，是中檔題．