Question

【題目】已知函數(shù)；

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，且恒成立，求的最大值．

參考數(shù)據(jù)：

	1.6	1.7	1.8
	4.953	5.474	6.050
	0.470	0.531	0.588

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)10.

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)得到，然后分和兩種情況討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）由（1）知有極大值，且滿足①，

且，要使恒成立，只需②，代換后可得只需，又，所以只需．然后通過(guò)分析可得函數(shù)的零點(diǎn)，且．又由②可得，且當(dāng)時(shí)，，不等式顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，，，然后令，，可得，于是可得的最大值．

（1）根據(jù)題意可得，，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

又在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，

所以在上存在一解，不妨設(shè)為，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)；

總上可得：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)．

（2）因?yàn)?/span>，由（1）知有極大值，且滿足①，

且，

要使恒成立，只需②，

由①可得，代入② 得，即，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，，且在是增函數(shù)，

設(shè)為的零點(diǎn)，則，可知，

由②可得，

當(dāng)時(shí)，，不等式顯然恒成立；

當(dāng)時(shí)，，，

令，，，

所以上是減函數(shù)，且，，

所以，

所以，

又，

所以的最大值為．