Question

4．求由參數(shù)方程x=${∫}_{0}^{t}$sinudu，y=${∫}_{0}^{t}$cosudu所確定的函數(shù)y=y（x）的導數(shù)．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的計算法則，求出x，y，再根據(jù)同名三角形函數(shù)的關(guān)系消元，最后根據(jù)導數(shù)的運算法則計算即可．

解答 解：x=${∫}_{0}^{t}$sinudu=-cosu|${\;}_{0}^{t}$=-cost+1，y=${∫}_{0}^{t}$cosudu=sinu|${\;}_{0}^{t}$=sint，
∵sin²t+cos²t=1，
∴y²+（x-1）²=1，
∴y²=2x-x²，
∴y=±（2x-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$，
∴y′=±$\frac{1}{2}$$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（2x-x²）′=±$\frac{1}{2}$$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（2-2x）=±$（2x-{x}^{2}）^{-\frac{1}{2}}$（1-x）．

點評 本題考查了定積分的計算和參數(shù)方程，導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．