Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=23n-n²，
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由a_n≥0，解得n≤12．因此當(dāng)n≤12時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n，當(dāng)n≥13時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=2S₁₂-S_n．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=23-1=22，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（23n-n²）-[23（n-1）-（n-1）²]
=24-2n，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=24-2n．
上式滿(mǎn)足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，
因此數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）解：由a_n≥0，解得n≤12．
因此當(dāng)n≤12時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=S_n=23n-n²．
當(dāng)n≥13時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n=2S₁₂-S_n=2×（23×12-12²）-（23n-n²）=n²-23n+264．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{23n-{n}^{2}，n≤12}\\{{n}^{2}-23n+264，n≥13}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、含絕對(duì)值數(shù)列的求和問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．