Question

16．如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1．
（1）證明EM⊥BF；
（2）求三棱錐E-ABF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)與線(xiàn)垂直，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到兩個(gè)三角形是等腰直角三角形，有線(xiàn)面垂直得到結(jié)果．
（2）求出底面面積和高，由V_E-ABF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}MB•{S}_{△AEF}$可得答案．

解答 （1）證明：∵EA⊥面ABC，BM?面ABC，
∴EA⊥MB
∴MB⊥AC，AC∩EA=A，
∴MB⊥面ACEF
∵EM?面ACEF，
∴EM⊥MB
在直角梯形ACEF中，EA=3，F(xiàn)C=1，AC=4
∴EF=2$\sqrt{5}$
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BM⊥AC
∴AM=3，CM=1
∴EM=3$\sqrt{2}$，MF=$\sqrt{2}$
∵EF²=EM²+MF²
∴EM⊥MF，又MB∩MF=M
∴EM⊥面MBF，
∵BF?面MBF
∴EM⊥BF…（8分）
（2）解：由（1）知，MB⊥面ACFE
∴V_E-ABF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}MB•{S}_{△AEF}$
在直角梯形ACEF中，${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}AE•AC$=6，MB=$\sqrt{3}$
∴V_E-ABF=2$\sqrt{3}$…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系，三棱錐E-ABF的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．