Question

2．如圖，已知圓O的半徑為1，A，B是圓上兩點(diǎn)，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，MN是圓O的一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)且滿足點(diǎn)C在線段AB上，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$），根據(jù) $\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，求 $\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小值，問題就是求${\overrightarrow{CO}}^{2}$的最小值，因?yàn)镃在AB線段上，那么C在AB中點(diǎn)時(shí)候，|$\overrightarrow{CO}$|=$\frac{1}{2}$最小，由此求得 $\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OM}$）•（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{ON}$）
=${\overrightarrow{CO}}^{2}$+$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．
由于MN是一條直徑，
∴$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小值，
問題就是求$\overrightarrow{CO}$²的最小值，
|AB|=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
因?yàn)镃在AB線段上，
那么C在AB中點(diǎn)時(shí)，|$\overrightarrow{CO}$|=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$最小，
此時(shí)$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．