Question

15．在等比數(shù)列{a_n}中；
（1）若a₁+a₂=81，a₃+a₄=9，則a₅+a₆=1
（2）若S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，S₄=2，S₈=6，則S₁₂=14．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列中a₁+a₂，a₃+a₄，a₅+a₆成等比數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列中S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列，計(jì)算即可•

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，則${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$•
（1）∵a₁+a₂=81，a₃+a₄=9，
∴$\frac{{a}_{5}+{a}_{6}}{{a}_{3}+{a}_{4}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{4}+{a}_{1}{q}^{5}}{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{1}q}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$
即a₅+a₆=$\frac{（{a}_{3}+{a}_{4}）^{2}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{9×9}{81}$=1；
（2）∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且S₄=2，S₈=6，
則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列，
∴$（{S}_{8}-{S}_{4}）^{2}={S}_{4}•（{S}_{12}-{S}_{8}）$，
即（6-2）²=2（S₁₂-6），解得：S₁₂=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)性質(zhì)的理解與記憶，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比中項(xiàng)的求法，屬于中檔題．