Question

20．設x、y、z均為正數(shù)，且3^x=4^y=6^z
（1）試求x，y，z之間的關系；
（2）求使2x=py成立，且與p最近的正整數(shù)（即求與P的差的絕對值最小的正整數(shù)）；
（3）試比較3x、4y、6z的大�。�

Answer 1

分析 （1）令3^x=4^y=6^z=k，利用指對數(shù)互化求出x、y、z，由對數(shù)的運算性質求出$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$，由對數(shù)的運算性質化簡$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$與$\frac{1}{y}$，即可得到關系值；
（2）由換底公式求出P，由對數(shù)函數(shù)的性質判斷P的取值范圍，找出與它最接近的2個整數(shù)，利用對數(shù)的運算性質化簡P與這2個整數(shù)的差，即可得到答案；
（3）由（1）得3x、4y、6z，由于3個數(shù)都是正數(shù)，利用對數(shù)、指數(shù)的運算性質化簡它們的倒數(shù)的差，從而得到這3個數(shù)大小關系．

解答 解：（1）令3^x=4^y=6^z=k，由x、y、z均為正數(shù)得k＞1，
則 x=log₃^k，y=log₄^k，z=log₆^k，
∴$\frac{1}{x}=lo{g}_{k}^{3}$，$\frac{1}{y}=lo{g}_{k}^{4}$，$\frac{1}{z}=lo{g}_{k}^{6}$，
∵$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=lo{g}_{k}^{6}-lo{g}_{k}^{3}$=$lo{g}_{k}^{2}$，且$\frac{1}{y}=2lo{g}_{k}^{2}$，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$；
（2）∵2x=py，∴p=$\frac{2x}{y}$=$\frac{2lo{g}_{3}^{k}}{lo{g}_{4}^{k}}$=$\frac{\frac{2lgk}{lg3}}{\frac{lgk}{lg4}}$=$\frac{2lg4}{lg3}$=2${log}_{3}^{4}$=log₃¹⁶，
∴2＜log₃¹⁶＜3，即 2＜p＜3，
∵p-2=log₃16-2=${log}_{3}^{\frac{16}{9}}$，3-p=3-log₃16=${log}_{3}^{\frac{27}{16}}$，
∵$\frac{16}{9}$-$\frac{27}{16}$=$\frac{13}{144}＞$0，∴$\frac{16}{9}＞\frac{27}{16}$，即${log}_{3}^{\frac{16}{9}}$＞${log}_{3}^{\frac{27}{16}}$，
∴與p的差最小的整數(shù)是3；
（3）由（1）得，3x=3log₃^k，4y=4log₄^k、6z=6log₆^k，
又x、y、z∈R⁺，∴k＞1，
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{4y}$=$\frac{1}{3}lo{g}_{k}^{3}$-$\frac{1}{4}$$lo{g}_{k}^{4}$=${log}_{k}^{\frac{\root{3}{3}}{\root{4}{4}}}$=${log}_{k}^{\root{6}{\frac{9}{8}}}$＞0，
∴$\frac{1}{3x}＞\frac{1}{4y}$，則3x＜4y，
同理可求$\frac{1}{4y}-\frac{1}{6z}$=${log}_{k}^{\root{6}{\frac{3}{4}}}$＞0，則4y＜6z，
綜上可知，3x＜4y＜6z．

點評 本題考查了對數(shù)的運算法則、換底公式、指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了推理能力，化簡、計算能力，屬于中檔題．