Question

17．已知圓C經(jīng)過點A（2，-1），和直線x+y=1相切，且圓心在直線y=-2x上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知斜率為k的直線m過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出圓心C的坐標(biāo)，由圓與直線相切的關(guān)系列出方程，求出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，即可求出圓的方程；
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx，根據(jù)弦長公式列出方程求出k即可．

解答 解：（1）由題意設(shè)圓心的坐標(biāo)為C（a，-2a），…（1分）
∵圓C經(jīng)過點A（2，-1），直線x+y=1相切，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+（-2a+1）^{2}}$=$\frac{|a-2a-1|}{\sqrt{2}}$，…（3分）
化簡得a²-2a+1=0，解得a=1，…（4分）
∴圓心C（1，-2），半徑r=|AC|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（-2+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$    …（5分）
∴圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=2                …（6分）
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx，…（7分）
由題意得$\frac{|k+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}-{{（\frac{2}{2}）}^2}}$…（9分）
解得k=$-\frac{3}{4}$，…（11分）
∴直線m的方程為$y=-\frac{3}{4}x$．        …（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，考查方程思想和待定系數(shù)法求圓的方程，屬于中檔題．