Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）求反函數(shù)f^-1（x）； 
（2）解不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1．

Answer 1

分析 （1）令y=f（x），用y表示出x即可得出f（x）的反函數(shù)是y=f^-1（x）； 
（2）把不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1轉(zhuǎn)化為log₂$\frac{1+x}{1-x}$＞log₂2（1+x），寫出等價的不等式組，求解集即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
∴$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=1-y，
∴2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，
∴x=log₂$\frac{1+y}{1-y}$，且-1＜y＜1；
∴f（x）的反函數(shù)是y=f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，x∈（-1，1）； 
（2）不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1可化為
log₂$\frac{1+x}{1-x}$＞log₂2（1+x），
等價于$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{\frac{1+x}{1-x}＞2（1+x）}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴該不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了求函數(shù)的反函數(shù)以及解不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．