5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=1,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)在R上的恒有f′(x)<$\frac{1}{4}$(x∈R),則不等式f(x2)<$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$的解集為( 。
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-2,2)C.(-∞,-$\sqrt{2}$)∪($\sqrt{2}$,+∞)D.(-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$)

分析 由f′(x)<$\frac{1}{4}$,構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)-$\frac{1}{4}$x,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞減,根據(jù)f(2)=1,求得g(2)=$\frac{1}{2}$,根據(jù)f(x2)<$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$,將其轉(zhuǎn)換成g(x2)<g(2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得不等的解集.

解答 解:f′(x)<$\frac{1}{4}$(x∈R),
f′(x)-$\frac{1}{4}$<0,
設(shè)g(x)=f(x)-$\frac{1}{4}$x,
g′(x)=f′(x)-$\frac{1}{4}$<0,
∴g(x)是R上的減函數(shù),g(2)=g(2)-$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,
∴f(x2)<$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$,
g(x2)=f(x2)-$\frac{{x}^{2}}{4}$<$\frac{1}{2}$=g(2),
∴x2>2,
解得:x>$\sqrt{2}$或x<-$\sqrt{2}$,
∴原不等式的解集為(-∞,-$\sqrt{2}$)∪($\sqrt{2}$,+∞).
故答案選:C.

點(diǎn)評 本題考查抽象不等式求解,關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)已知條件和所要解的不等式,找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵,屬于中檔題.

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