Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，且a₄-a₁=6，在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=$\frac{1}{2n（{a}_{n}+2）}$，數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n．若T_n＞$\frac{1}{8}$（1-m²）對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，且a₄-a₁=6，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$即$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}•（{a}_{1}+3d）$，3d=6，
解得d=2，a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄．
∴b₁=2，b₃=8=2q²，解得q=2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）C_n=$\frac{1}{2n（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$，
∵T_n＞$\frac{1}{8}$（1-m²）對(duì)n∈N^*恒成立，
∴$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{8}$（1-m²），m²＞0，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．