Question

18．如圖，一根木棒AB長(zhǎng)為2米，斜靠在墻壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑動(dòng)至A₁B₁位置，且$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$米，則①BB₁=$\sqrt{2}$-1米；②木棒AB的中點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路程為$\frac{π}{12}$米．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，即O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是一段圓弧；在Rt△ACB中，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系得到∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1，則易求出CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，即可得到∠A₁CO′=45°，∠OCO′=15°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：連接CO、CO′，如圖，
∵CA⊥CB，O為AB中點(diǎn)，O′為A₁B₁的中點(diǎn)
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$A₁B₁=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
當(dāng)A端下滑B端右滑時(shí)，AB的中點(diǎn)O到C的距離始終為定長(zhǎng)1，
∴O運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線是一段圓弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，BC=1
∵$A{A_1}=（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$，
CA₁=CA-CA₁=$\sqrt{2}$，BB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴sin∠A₁B₁C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A₁B₁C=45°，
∴∠A₁CO′=45°
∴∠OCO′=15°，
∴弧OO′的長(zhǎng)=$\frac{15π}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O′所經(jīng)過(guò)路線OO′的長(zhǎng)為$\frac{π}{12}$米．
故答案為：$\sqrt{2}-1$；$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明確AB中點(diǎn)在以C為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，考查了弧長(zhǎng)公式及直角三角形中的邊角關(guān)系，是中檔題．