Question

9．已知圓C：x²+y²-6x-8y+21=0和直線l：kx-y-4k+3=0．
（1）證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；
（2）證明：不論k取何值，直線l和圓C總相交；
（3）當(dāng)k取何值時，圓C被直線l截得的弦長最短？并求最短的弦的長度．

Answer 1

分析 （1）直線kx-y-4k+3=0，即 k（x-4）-y+3=0，可得直線l經(jīng)過定點(diǎn)M（4，3）；
（2）點(diǎn)M在圓C的內(nèi)部，可得直線l和圓C總相交．
（3）當(dāng)直線CM和直線l垂直時，弦長最短，再利用弦長公式求得最短弦長．

解答 （1）證明：直線kx-y-4k+3=0，即 k（x-4）-y+3=0，
∴直線l恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)M（4，3）；
（2）解：圓C：x²+y²-6x-8y+21=0，即（x-3）²+（y-4）²=4，表示以C（3，4）為圓心、半徑等于2的圓．
而由CM=$\sqrt{2}$＜2，可得點(diǎn)M在圓C的內(nèi)部，故直線l和圓C總相交．
（3）解：由題意可得，當(dāng)直線CM和直線l垂直時，弦長最短，最短弦長為2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．
此時k_CM=$\frac{4-3}{3-4}$=-1，∴k=1．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，直線和圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．