Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為A₁C₁，BB₁的中點(diǎn)，B₁C⊥AB，側(cè)面BCC₁B₁為菱形．求證：
（Ⅰ）DE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）B₁C⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AA₁的中點(diǎn)F，連DF，F(xiàn)E．由DF∥AC₁，EF∥AB．可證DF∥平面ABC₁．同理根據(jù)線面平行的判定定理可證EF∥平面ABC₁，可證平面DEF∥平面ABC₁，即可證明DE∥平面ABC₁．
（Ⅱ）由B₁C⊥BC₁．又B₁C⊥AB，可證B₁C⊥平面ABC₁．即可證明B₁C⊥平面DEF，從而可證B₁C⊥DE．

解答 解：（Ⅰ）如圖，取AA₁的中點(diǎn)F，連DF，F(xiàn)E．又因?yàn)镈，E分別為A₁C₁，BB₁的中點(diǎn)，
所以DF∥AC₁，EF∥AB．
因?yàn)镈F?平面ABC₁，AC₁?平面ABC₁，
故DF∥平面ABC₁．…（3分）
同理，EF∥平面ABC₁．
因?yàn)镈F，EF為平面DEF內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面DEF∥平面ABC₁．…（5分）
因?yàn)镈E?平面DEF，所以DE∥平面ABC₁．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面BCC₁B₁為菱形，
故B₁C⊥BC₁．…（9分）
又B₁C⊥AB，且AB，BC₁為平面ABC₁內(nèi)的兩條相交直線，
所以B₁C⊥平面ABC₁．…（12分）
而平面DEF∥平面ABC₁，所以B₁C⊥平面DEF，
因?yàn)镈E?平面DEF，
所以B₁C⊥DE．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行以及面面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，利用相應(yīng)的判定定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．