Question

7．已知定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x），在定義域上為減函數(shù)．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求f（0）的值；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0；
（2）若f（1-a）+f（1-2a）＞0，
則f（1-a）＞-f（1-2a）=f（2a-1），
∵f（x）在在定義域上為減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
則$\frac{2}{3}$＜a＜1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{2}{3}$＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．