Question

16．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．現(xiàn)將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）
• B． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• C． （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]
• D． （$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 可設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為1，從而由條件可得到BE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=1，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及向量減法的幾何意義可得到$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}），\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算可求出$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}$，從而可得到$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞}{\frac{3}{4}}$，而由$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞＜1$可得$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{1}{2}$，從而可以得到向量$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}$夾角的范圍，進(jìn)而便可得出異面直線BE與CF所成角的取值范圍．

解答 解：可設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為1，則BE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=1；
線段AD，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)；
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}）$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}）•（\overrightarrow{BD}-2\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{BD}}^{2}-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞$；
∴$cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞}{\frac{3}{4}}$；
由圖看出$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}＞＜1$；
∴$-\frac{1}{2}＜cos＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{1}{2}$；
∴$\frac{π}{3}＜＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CF}＞＜\frac{2π}{3}$；
即異面直線BE與CF所成角的取值范圍是$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，向量夾角余弦的計(jì)算公式，清楚向量夾角的范圍，以及異面直線所成角的范圍．