Question

6．（1）已知正數(shù)x、y滿足xy=x+y+3，試求xy、x+y的范圍．
（2）已知x＞0，求證：x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3，解不等式即可得到xy，x+y的范圍；
（2）設(shè)t=x+$\frac{1}{x}$≥2，運(yùn)用t+$\frac{1}{t}$的導(dǎo)數(shù)1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，可得單調(diào)性，進(jìn)而得證．

解答 解：（1）由正數(shù)x、y滿足xy=x+y+3，
可得xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3，
設(shè)t=$\sqrt{xy}$（t＞0），可得t²-2t-3≥0，
解得t≥3，即有xy≥9，
可得x+y≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3，取得等號(hào)．
則xy的范圍是[9，+∞），x+y的范圍是[6，+∞）；
（2）證明：設(shè)t=x+$\frac{1}{x}$≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立），
即有t+$\frac{1}{t}$的導(dǎo)數(shù)1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0在[2，+∞）恒成立，
即有t+$\frac{1}{t}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)t=2即x=1取得等號(hào)），
則x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求取值范圍和證明不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．