Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)周期公式即可計算得解．
（Ⅲ）由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得解析式g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f（$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{4}$=1，
（Ⅱ）∵f（x）=sin2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
（Ⅲ）∵g（x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴當(dāng)x=k$π+\frac{π}{8}$，k∈Z時，函數(shù)g（x）的最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)周期公式，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．