Question

6．已知曲線y=e^-x；
①若曲線在點P處的切線平行于直線2x+y+1=0，則P點坐標是（-ln2，2）；
②若曲線在點P處的切線垂直于直線ex-y+1=0，則P點坐標是（1，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 ①設P（m，n），求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，運用兩直線平行的條件：斜率相等，計算即可得到所求點的坐標；
②設P（s，t），求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可得到所求點的坐標．

解答 解：①設P（m，n），由y=e^-x的導數(shù)y′=-e^-x，
曲線在點P處的切線斜率為k=-e^-m，
由切線平行于直線2x+y+1=0，可得-e^-m=-2，
解得m=-ln2，n=e^ln2=2，可得P（-ln2，2）；
②設P（s，t），由y=e^-x的導數(shù)y′=-e^-x，
曲線在點P處的切線斜率為k=-e^-s，
由切線垂直于直線ex-y+1=0，可得-e^-s=-$\frac{1}{e}$，
解得s=1，t=e^-1，可得P（1，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（-ln2，2），（1，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，同時考查兩直線平行或垂直的條件，正確求導是解題的關鍵，屬于基礎題．