Question

1．函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{|x|+1}$
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若9＞a＞0，求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出a=4的f（x）的解析式，討論x＞0，x＜0，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）討論-1＜x＜0，0＜x＜2去掉絕對(duì)值，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，注意對(duì)a討論，求出f（0），f（2），比較即可得到所求最大值．

解答 解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x+$\frac{4}{|x|+1}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+$\frac{4}{x+1}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0可得x＞1；f′（x）＜0可得0＜x＜1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x+$\frac{4}{1-x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$，
可得f′（x）＞0．
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（2）由f（x）=x+$\frac{a}{|x|+1}$（0＜a＜9），
①當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{1-x}$，f′（x）=1+$\frac{a}{（x-1）^{2}}$＞0；
②當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，f′（x）=1-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）＞0成立；
當(dāng)1＜a＜9時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{a}$-1；f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{a}$-1．
綜上可得，f（x）在（-1，0）遞增；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在（0，2）遞增；
當(dāng)1＜a＜9時(shí)，f（x）在（0，$\sqrt{a}$-1）遞減，在（$\sqrt{a}$-1，2）遞增．
由f（0）=a，f（2）=2+$\frac{a}{3}$，
當(dāng)f（0）≥f（2），即3≤a＜9時(shí)，f（0）取得最大值，且為a；
當(dāng)f（0）＜f（2），即0＜a＜3時(shí)，f（2）取得最大值，且為2+$\frac{a}{3}$．
綜上可得，當(dāng)3≤a＜9時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為a；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2+$\frac{a}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷符號(hào)，考查函數(shù)的最值的求法，注意分類討論和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．