Question

3．一元二次不等式0≤ax²+c≤3的解集為[d，d+1]∪[d+3，d+4]，則實數(shù)a的值為±1．

Answer 1

分析 把不等式0≤ax²+c≤3化為$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+c≥0}\\{{ax}^{2}+c≤3}\end{array}\right.$，討論a＞0和a＜0時，不等式對應的方程實數(shù)根的情況，求出d和a的值即可．

解答 解：一元二次不等式0≤ax²+c≤3可化為
$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+c≥0}\\{{ax}^{2}+c≤3}\end{array}\right.$，
當a＞0時，方程ax²+c=0的兩個實數(shù)根為d+1和d+3，
且（d+1）+（d+3）=0，
解得d=-2，∴a=-c；
∴方程ax²+c=3可化為ax²-a=3，
即x²=$\frac{3+a}{a}$，且它的兩個實數(shù)根為d和d+4，
即-2和2，
解得a=1；
同理，當a＜0時，方程ax²+c=0的兩個實數(shù)根為d和d+4，
且d+（d+4）=0，
解得d=-2，∴c=-4a；
∴方程ax²+c=3可化為ax²-4a=3，
即x²=$\frac{3+4a}{a}$，且它的兩個實數(shù)根為d+1和d+3，
即-1和1，
解得a=-1；
綜上，實數(shù)a的值為±1．
故答案為：±1．

點評 本題考查了一元二次不等式組與對應方程解的情況，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．